Ծնվել է Մերձմոսկովյան Դուբնա քաղաքում՝ երաժիշտների ընտանիքում: 2003-ին ավարտել է Մոսկվայի՝ Վիկտոր Պոպովի հիմնած Երգչախմբայի արվեստի ակադեմիան որպես երգիչ և խմբավար:
2004-2005-ը կատարելագործվել է Ֆլորենցիայի Maggio Musicale Fiorentino-ում: Մասնակցել է Մոցարտի «Դոն Ժուան», Ռոսինիի «Սևիլյան սափրիչը», Բրիտտենի «Ալբերտ Հերրինգ» օպերաների բեմադրություններին: Վերադառնալով Ռուսաստան, Եվգենի Ստավինսկին հանդես է եկել մենահամերգներով և մասնակցել համերագային ծրագրերին, ապա դարձել է Դուբնայի սիմֆոնիկ նվագախմբի դիրիժորը: 2006-ից Մոսկվայի՝ Եվգենի Կոլոբովի հիմնած «Новая Опера» թատերախմբի մեներգիչ է:
Ստավինսկին Riccardo Zandonai Opera Singers միջազգային մրցույթի մրցանակակիր է: Հրավիրվել է Riva del Garda դափնեկիրների համերգներին և ելույթներ է ունեցել Riva Music Festival-ում. Վերդիի «Ռեքվիեմ», «Ռիգոլետո» օպերա և այլն: Ելույթներ է ունեցել Ռուսաստանի, Հունգարիայի, Իտալիայի, Ֆրանսիայի և այլ երկրների առաջատար օպերային թատրոններում: Դերերի թվում՝ Մեֆիստոֆել («Ֆաուստ»), Օրովեզ («Նորմա»), Ռայմոնդո («Լյուչիա դի Լամերմուր»), Քոլին («Բոհեմ»), Զաքարիա («Նաբուկո»), Իվան Խովանսկի («Խովանչշինա»), Ֆիլիպ («Դոն Կառլոս»), ինչպես և Մոցարտի և Վերդիի Ռեքվիեմների կատարում: 2018-ին կայացել է Ստավինսկու բեմելը Լոնդոնի Royal Opera House Covent Garden-ում՝ Դոնիձետիի “La Favorite” օպերայում:
